Question

3．已知函數(shù)f（x）=（x²-x+1）•e^x+2，x∈R
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-k有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）求出g（x）的解析式，求得導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間，可得極值，由題意可得兩極值同號(hào)，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（x²-x+1）•e^x+2的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=（2x-1）e^x+（x²-x+1）•e^x=（x²+x）•e^x，
即有在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為2e，
切點(diǎn)為（1，e+2），
可得切線的方程為y-（e+2）=2e（x-1），
即為2ex-y-e+2=0；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-k=（x²-x+1）•e^x+2-k，
導(dǎo)數(shù)g′（x）=（x²+x）•e^x，
由g′（x）=0，可得x=-1或x=0，
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
即有g(shù)（x）在x=-1處取得極大值g（-1）=$\frac{3}{e}$+2-k，
x=0處取得極小值g（0）=3-k，
由函數(shù)g（x）=f（x）-k有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
可得g（-1）g（0）＞0，即（$\frac{3}{e}$+2-k）（3-k）＞0，
解得k＜3或k＞2+$\frac{3}{e}$，
即有實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，3）∪（2+$\frac{3}{e}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．