Question

13．某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數x與燒開一壺水所用時間y的一組數據，且做了一定的數據處理（如表），做出了散點圖（如圖）．

$\overline x$	$\overline y$	$\overline w$	$\sum_{i=1}^{10}{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$	$\sum_{i=1}^{10}{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$	$\sum_{i=1}^{10}{（{x_i}-\overline x）}（{y_i}-\overline y）$	$\sum_{i=1}^{10}{（{w_i}-\overline w）}（{y_i}-\overline y）$
1.47	20.6	0.78	2.35	0.81	-19.3	16.2

表中w_i=$\frac{1}{x_i^2}，\overline w=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}{w_i}$．
（1）根據散點圖判斷，y=a+bx與y=c+$\fracz9n5bpn{x^2}$哪一個更適宜作燒水時間y關于開關旋轉角x的回歸方程類型？（不必說明理由）
（2）根據判斷結果和表中數據，建立y關于x的回歸方程；
（3）若旋轉角x與單位時間內煤氣輸出量t成正比，那么x為多少時，燒開一壺水最省煤氣？
附：對于一組數據（u₁，v₁），（u₂，v₂），（u₃，v₃），…，（u_n，v_n），其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{v}_{i}-\overline{v}）（{u}_{i}-\overline{u}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （1）根據散點圖是否按直線型分布作答；
（2）根據回歸系數公式得出y關于ω的線性回歸方程，再得出y關于x的回歸方程；
（3）利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件．

解答 解：（1）$y=c+\fraczpv37nd{x^2}$更適宜作燒水時間y關于開關旋轉角x的回歸方程類型．
（2）由公式可得：$d=\frac{16.2}{0.81}=20，c=20.6-20×0.78=5$，所以回歸方程為y=5+$\frac{20}{{x}^{2}}$．
（3）設t=kx，則煤氣用量S=yt=kx（5+$\frac{20}{{x}^{2}}$）=5kx+$\frac{20k}{x}$≥2$\sqrt{5kx•\frac{20k}{x}}$=20k，
當且僅當5kx=$\frac{20k}{x}$時取“=”，即x=2時，煤氣用量最�。�

點評 本題考查了可化為線性相關的回歸方程的求解，基本不等式的應用，屬于中檔題．