如圖,橢圓的左焦點為,過點的直線交橢圓于,兩點.當直線經過橢圓的一個頂點時,其傾斜角恰為.
(Ⅰ)求該橢圓的離心率;
(Ⅱ)設線段的中點為,的中垂線與軸和軸分別交于兩點,
記△的面積為,△(為原點)的面積為,求的取值范圍.
(Ⅰ). (Ⅱ)的取值范圍是.
解析試題分析:(Ⅰ)解:依題意,當直線經過橢圓的頂點時,其傾斜角為 1分
則 . 2分
將 代入 ,
解得 . 3分
所以橢圓的離心率為 . 4分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ),橢圓的方程可設為. 5分
設,.
依題意,直線不能與軸垂直,故設直線的方程為,將其代入
得 . 7分
則 ,,
. 8分
因為 ,
所以 ,. 9分
因為 △∽△,
所以 11分
. 13分
所以的取值范圍是. 14分
考點:本題主要考查橢圓的標準方程,橢圓的幾何性質,直線與橢圓的位置關系,三角形面積計算。
點評:中檔題,求橢圓的標準方程,主要運用了橢圓的幾何性質,a,b,c,e的關系。曲線關系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運用韋達定理。對于三角形面積計算問題,注意應用已有垂直關系及弦長公式。本題應用韋達定理,簡化了解題過程。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點在坐標原點,焦點在軸上,且過點.
(Ⅰ)求拋物線的標準方程;
(Ⅱ)與圓相切的直線交拋物線于不同的兩點若拋物線上一點滿足,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓E:的離心率為,右焦點為F,且橢圓E上的點到點F距離的最小值為2.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設橢圓E的左、右頂點分別為A,B,過點A的直線l與橢圓E及直線x=8分別相交于點M,N.
(ⅰ)當過A,F(xiàn),N三點的圓半徑最小時,求這個圓的方程;
(ⅱ)若,求△ABM的面積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,一水渠的橫斷面是拋物線形,O是拋物線的頂點,口寬EF=4米,高3米建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼,求拋物線方程.現(xiàn)將水渠橫斷面改造成等腰梯形ABCD,要求高度不變,只挖土,不填土,求梯形ABCD的下底AB多大時,所挖的土最少?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,設是圓上的動點,點是在軸上投影,為上一點,且.當在圓上運動時,點的軌跡為曲線. 過點且傾斜角為的直線交曲線于兩點.
(1)求曲線的方程;
(2)若點F是曲線的右焦點且,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知,直線,為平面上的動點,過點作的垂線,垂足為點,且.
(1)求動點的軌跡曲線的方程;
(2)設動直線與曲線相切于點,且與直線相交于點,試探究:在坐標平面內是否存在一個定點,使得以為直徑的圓恒過此定點?若存在,求出定點的坐標;若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓E:()離心率為,上頂點M,右頂點N,直線MN與圓相切,斜率為k的直線l經過橢圓E在正半軸的焦點F,且交E于A、B不同兩點.
(1)求E的方程;
(2)若點G(m,0)且| GA|=| GB|,,求m的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知圓C與y軸相切于點T(0,2),與x軸正半軸相交于兩點M,N (點M在點N的右側),且。橢圓D:的焦距等于,且過點
( I ) 求圓C和橢圓D的方程;
(Ⅱ) 若過點M的動直線與橢圓D交于A、B兩點,若點N在以弦AB為直徑的圓的外部,求直線斜率的范圍。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))。
若以直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為(其中為常數(shù))
(1)當時,曲線與曲線有兩個交點.求的值;
(2)若曲線與曲線只有一個公共點,求的取值范圍.
查看答案和解析>>