Question

14．已知函數(shù)f（x）=|xe^x|-t有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，1）
• C． （$\frac{1}{e}$，1）
• D． （0，$\frac{1}{e}$]

Answer 1

分析 令f（x）=0，即為方程|xe^x|=t有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，即y=t與函數(shù)y=|xe^x|的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)法分析g（x）=xe^x的單調(diào)性和極值，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象的對折變換畫出函數(shù)y=|xe^x|的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：令f（x）=0，即為|xe^x|=t，
令g（x）=xe^x，則g′（x）=（1+x）e^x，
當(dāng)x＜-1時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞-1時(shí)，g′（x）＞0，
故g（x）=xe^x在（-∞，-1）上為減函數(shù)，在（-1，+∞）上是減函數(shù)，
g（-1）=-$\frac{1}{e}$，
又由x＜0時(shí)，g（x）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，
故函數(shù)y=|xe^x|的圖象如下圖所示：

故當(dāng)t∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，y=t與函數(shù)y=|xe^x|的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
即方程|xe^x|=t有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，
故t的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$），
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是零點(diǎn)的存在性及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中結(jié)合函數(shù)圖象的對折變換畫出函數(shù)y=|xe^x|的圖象，是解答的關(guān)鍵．