Question

3．已知函數(shù)f（x）=x-alnx，（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）設(shè)g（x）=-$\frac{a+1}{x}$，若不等式f（x）＞g（x）對(duì)任意x∈[1，e）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）由題意，只要求出函數(shù)f（x）_min＞0即可，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，進(jìn)行分類討論，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）f（x）=x-alnx，（x＞0），
f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，
①a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，f（x）無極值；
②a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
f（x）有1個(gè)極小值點(diǎn)；
（2）若不等式f（x）＞g（x）對(duì)任意x∈[1，e]恒成立，
令h（x）=f（x）-g（x），即h（x）_最小值＞0在[1，e]恒成立，
則h（x）=x-alnx+$\frac{a+1}{x}$（a∈R），
∴h′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{a+1}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）[x-（a+1）]}{{x}^{2}}$，
①當(dāng)1+a≤0，即a≤-1時(shí)，在[1，e]上為增函數(shù)，f（x）_min=f（1）=1+1+a＞0，
解得：a＞-2，即-2＜a≤-1，
當(dāng)a＞-1時(shí)
①當(dāng)1+a≥e時(shí)，即a≥e-1時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（e）=e+$\frac{a+1}{e}$-a＞0，解得a＜$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$，
∵$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$＞e-1，
∴e-1≤a＜$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$；
②當(dāng)0＜1+a≤1，即-1＜a≤0，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=1+1+a＞0，
解得a＞-2，故-2＜a＜-1；
③當(dāng)1＜1+a＜e，即0＜a＜e-1時(shí)，f（x）_min=f（1+a），
∵0＜ln（1+a）＜1，
∴0＜aln（1+a）＜a，
∴f（1+a）=a+2-aln（1+a）＞2，此時(shí)f（1+a）＞0成立，
綜上，-2＜a＜$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$時(shí)，不等式f（x）＞g（x）對(duì)任意x∈[1，e]恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及最值，以及分類討論的思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．