設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的兩點，
m
=（
x1
b
，
y1
a
），
n
=（
x2
b
，
y2
a
），且
m
•
n
=0，橢圓離心率e=
3
2
，短軸長為2，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓方程；
（2）若存在斜率為k的直線AB過橢圓的焦點F（0，c）（c為半焦距），求k的值；
（3）試問△AOB的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．
分析：（1）依題意可求得b，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a，則橢圓方程可得．
（2）設(shè)AB方程為y=kx+
3
，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及
m
•
n
=0，即可求得k的值；
（3）當(dāng)A為頂點時，B必為頂點，則△AOB的面積是1；當(dāng)A，B不為頂點時，設(shè)AB方程為y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及
m
•
n
=0，可得2m2-k2=4，從而可得結(jié)論．
解答：解：（1）∵橢圓離心率e=
3
2
，短軸長為2，∴
c
a
=
3
2
，b=1，解得a=2，b=1
∴所求橢圓方程為
y2
4
+x2=1；
（2）設(shè)AB方程為y=kx+
3
，與橢圓方程聯(lián)立，消元可得（k2+4）x2+2
3
kx-1=0
∴x1+x2=
-2
3
k
k2+4
，x1x2=
-1
k2+4

由已知
m
=（
x1
b
，
y1
a
），
n
=（
x2
b
，
y2
a
），且
m
•
n
=0，∴
x1x2
b2
+
y1y2
a2
=0
∴x1x2+
1
4
(kx1+
3
)（kx2+
3
）=0
∴k=±
2

（3）當(dāng)A為頂點時，B必為頂點，則△AOB的面積是1；
當(dāng)A，B不為頂點時，設(shè)AB方程為y=kx+m
與橢圓方程聯(lián)立，消元可得（k2+4）x2+2kmx+m2-4=0
∴x1+x2=
-2mk
k2+4
，x1x2=
m2-4
k2+4

∵
m
•
n
=0，∴x1x2+
1
4
(kx1+m)（kx2+m）=0
∴2m2-k2=4
∴△AOB的面積是
1
2
|m||x1-x2|=
|m|
4k2-4m2+16
k2+4
=
4m2
2|m|
=1．
∴三角形的面積為定值1．
點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，直線l過點F交拋物線C于A、B兩點．
（Ⅰ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），求
1
y1
+
1
y2
的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在定點Q，使得無論AB怎樣運動都有∠AQF=∠BQF？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上兩點，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，O為坐標(biāo)原點，已知點M的橫坐標(biāo)為
1
2
．
（Ⅰ）求證：點M的縱坐標(biāo)為定值；
（Ⅱ）定義定義Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的Sn，設(shè)an=
1
2Sn+1
(n∈N*)．若對于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，試求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的兩點，已知O為坐標(biāo)原點，橢圓的離心率e=
3
2
，短軸長為2，且
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c）（c為半焦距），求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
圖象上任意兩點，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知點M的橫坐標(biāo)為
1
2
，且有Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N*且n≥2，
（1）求點M的縱坐標(biāo)值；
（2）求s2，s3，s4及Sn；
（3）已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，其中n∈N*，且Tn為數(shù)列{an}的前n項和，若Tn≤λ（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求λ的最小正整數(shù)值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是拋物線y=x2上的三個動點，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B為直角頂點的等腰直角三角形．
（1）求證：直線BC的斜率等于x2+x3，也等于
x2-x1x3-x2
；
（2）求A、C兩點之間距離的最小值．

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同步練習(xí)冊答案