Question

13．設(shè)f（x）=x-alnx，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂．且x₁＜x₂．求$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$隨a的變化情況．

Answer 1

分析 由題意可得a=$\frac{x}{lnx}$；從而設(shè)g（x）=$\frac{x}{lnx}$并求導(dǎo)g′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$，從而可得g（x）的單調(diào)性及取值范圍；再由單調(diào)性定義證明的方法即可解答．

解答 解：由f（x）=x-alnx=0得，a=$\frac{x}{lnx}$；
設(shè)g（x）=$\frac{x}{lnx}$，則g′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$，
故g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，e）上是減函數(shù)，在（e，+∞）上是增函數(shù)，
且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＜0；當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，g（x）＞e；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g（x）＞e；
故a∈（e，+∞）；x₁∈（1，e），x₂∈（e，+∞）；
對(duì)于任意a₁，a₂∈（e，+∞），不妨設(shè)a₁＞a₂，
則g（x₁）=g（x₂）=a₁，g（y₁）=g（y₂）=a₂；
其中1＜x₁＜e＜x₂，1＜y₁＜e＜y₂，
則由g（x）在（1，e）上是減函數(shù)，在（e，+∞）上是增函數(shù)知，
x₁＜y₁，x₂＞y₂，
故$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$；
故$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$隨a的增大而增大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了零點(diǎn)的判定與應(yīng)用，屬于中檔題．