Question

18．函數(shù)f（x）上任意一點A（x₁，y₁）處的切線l₁，在其圖象上總存在異于點A的點B（x₂，y₂），使得在點B處的切線l₂滿足l₁∥l₂，則稱函數(shù)具有“自平行性”，下列有關(guān)函數(shù)f（x）的命題：
①函數(shù)f（x）=sinx+1具有“自平行性”；
②函數(shù)f（x）=x³（-1≤x≤2）具有“自平行性”；
③函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-1（x＜0）}\\{x+\frac{1}{x}（x＞m）}\end{array}\right.$具有“自平行性”的充要條件為函數(shù)m=1；
④奇函數(shù)y=f（x）（x≠0）不一定具有“自平行性”；
⑤偶函數(shù)y=f（x）具有“自平行性”．
其中所有敘述正確的命題的序號是①③④．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)具有“自平行性”的定義，逐一分析5個函數(shù)是否具有“自平行性”，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）具有“自平行性”，即對定義域內(nèi)的任意自變量x₁，總存在x₂≠x₁，使得f′（x₁）=f′（x₂）．
對于①，f′（x）=cosx，具有周期性，必滿足條件，故①正確；
對于②，f′（x）=3x²（-1≤x≤2），對任意x₁∈（1，2]，不存在x₂≠x₁，使得f′（x₁）=f′（x₂）成立，故②錯誤；
對于③，當x＜0時，f′（x）=e^x∈（0，1），而x＞m時，f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$∈（0，1），解得x＜-1（舍去），或x＞1，則m=1，故③正確；
對于④，f（x）=x，（x≠0）不符合定義，故④正確；
對于⑤，同④，其導函數(shù)為奇函數(shù)，故⑤不正確．
故答案為：①③④．

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)具有“自平行性”的定義，正確理解函數(shù)具有“自平行性”的定義，是解答的關(guān)鍵．