Question

9．設(shè)點A是坐標原點O在直線2x-3y+13=0上的射影，對數(shù)函數(shù)y=log_ax的圖象恒過定點B，向量$\overrightarrow{AB}$對應(yīng)復(fù)數(shù)z₀
（1）求復(fù)數(shù)z₀；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，求|z-z₀|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出A的坐標，B的坐標，然后求解復(fù)數(shù)z₀；
（2）利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解|z-z₀|的最大值和最小值．

解答 解：（1）結(jié)果坐標原點O與直線2x-3y+13=0垂直的準線方程為：y=-$\frac{3}{2}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+13=0}\\{y=-\frac{3}{2}x}\end{array}\right.$，
解得x=-2，y=3，A（-2，3）．
對數(shù)函數(shù)y=log_ax的圖象恒過定點B（1，0）．
向量$\overrightarrow{AB}$=（3，-3）對應(yīng)復(fù)數(shù)z₀=3-3i．
（2）復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，以原點為圓心半徑為2的圓，z₀的對應(yīng)點（3，-3），
z₀的對應(yīng)點與原點的距離為：3$\sqrt{2}$，
所以|z-z₀|的最大值為：2+3$\sqrt{2}$和最小值3$\sqrt{2}-2$．

點評 本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，向量在幾何中的應(yīng)用，點與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．