Question

19．已知x=$\frac{1}{8-4\sqrt{3}}$，則$\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}+\sqrt{1-\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\sqrt{x}}-\sqrt{1-\sqrt{x}}}$的值為$\sqrt{6}-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 $\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}+\sqrt{1-\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\sqrt{x}}-\sqrt{1-\sqrt{x}}}$可化為：$\sqrt{\frac{1}{x}}$-$\sqrt{\frac{1}{x}-1}$，將x=$\frac{1}{8-4\sqrt{3}}$代入再將被開方數(shù)化為完全平方式，脫去根號，可得答案．

解答 解：$\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}+\sqrt{1-\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\sqrt{x}}-\sqrt{1-\sqrt{x}}}$=$\frac{（\sqrt{1+\sqrt{x}}+\sqrt{1-\sqrt{x}}）^{2}}{（\sqrt{1+\sqrt{x}}-\sqrt{1-\sqrt{x}}）（\sqrt{1+\sqrt{x}}+\sqrt{1-\sqrt{x}}）}$=$\frac{（1+\sqrt{x}）+（1-\sqrt{x}）+2\sqrt{1-x}}{（1+\sqrt{x}）-（1-\sqrt{x}）}$=$\frac{1+\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}$=$\sqrt{\frac{1}{x}}$+$\sqrt{\frac{1}{x}-1}$，
當(dāng)x=$\frac{1}{8-4\sqrt{3}}$時，原式=$\sqrt{8-4\sqrt{3}}$+$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$=$\sqrt{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}}$+$\sqrt{{（2-\sqrt{3}）}^{2}}$=$\sqrt{6}-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{6}-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是指數(shù)式的化簡與求值，本題解答時技巧性較強(qiáng)，否則運(yùn)算起來非常麻煩．