Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在第四象限，且點(diǎn)P到點(diǎn)A（1，0）、B（a，4）及到直線x=-1的距離相等，如果這樣的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，則a的值為（　�。�

• A． 1
• B． -1
• C． 2或-2
• D． 1或-1

Answer 1

分析 由點(diǎn)P到點(diǎn)A（1，0）及到直線x=-1的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是拋物線：y²=4x，再設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-2$\sqrt{m}$），根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，得到關(guān)于m的方程，再設(shè)t=$\sqrt{m}$＞0，根據(jù)方程解的問題討論a的值的問題．

解答 解：由點(diǎn)P到點(diǎn)A（1，0）及到直線x=-1的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是拋物線：y²=4x，
∵點(diǎn)P在第四象限，設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-2$\sqrt{m}$），
由于點(diǎn)P到點(diǎn)A（1，0）、B（a，4）及到直線x=-1的距離都相等，
∴|PA|=|PB|，
∴m+1=$\sqrt{（m-a）^{2}+（-2\sqrt{m}-4）^{2}}$，
即16$\sqrt{m}$+2m-2am+a²+15=0，
設(shè)t=$\sqrt{m}$＞0，
則2（1-a）t²+16t+a²+15=0，
∵點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，
∴方程的解只有一個(gè)，
當(dāng)a=1時(shí)，16t+1+15=0，解得t=-1＜0，不合題意，
當(dāng)a≠1時(shí)，△=16²-8（1-a）（a²+15）=0，解得a=-1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義及其性質(zhì)，以及點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離公式，屬于中檔題．