Question

19．若不等式x²-log_ax＜0對(duì)x∈（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． 0＜a＜1
• B． $\frac{1}{16}$≤a＜1
• C． a＞1
• D． 0＜a≤$\frac{1}{16}$

Answer 1

分析 兩個(gè)函數(shù)的恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此題x²-log_ax＜0對(duì)x∈（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，轉(zhuǎn)化成求y=x²在x∈（0，$\frac{1}{2}$）的值域與log_ax在x∈（0，$\frac{1}{2}$）的值域問題．對(duì)數(shù)函數(shù)另一方面要注意分類對(duì)底數(shù)a討論．即可求解．

解答 解：由題意x²-log_ax＜0
則x²＜log_ax
x∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，x²∈（0，$\frac{1}{4}$）
當(dāng)a＞1時(shí)，log_ax∈（-∞，$lo{g}_{a}\frac{1}{2}$），$lo{g}_{a}\frac{1}{2}＜lo{g}_{a}1=0$．
所以：x²-log_ax＜0對(duì)x∈（0，$\frac{1}{2}$）恒不成立．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_ax∈（$lo{g}_{a}\frac{1}{2}$，+∞），
要使x²-log_ax＜0對(duì)x∈（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，則：$lo{g}_{a}\frac{1}{2}≥\frac{1}{4}$．
解得：a$≥\frac{1}{16}$
實(shí)數(shù)a的取值范圍為：[$\frac{1}{16}$，1）
故選B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)在其定義域內(nèi)值域的問題，兩個(gè)函數(shù)的恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題．對(duì)數(shù)函數(shù)另一方面要注意分類對(duì)底數(shù)a討論．屬于中檔題．