Question

1．存在實(shí)數(shù)a，使得對函數(shù)y=g（x）定義域內(nèi)的任意x，都有a＜g（x）成立，則稱a為g（x）的下界，若a為所有下界中最大的數(shù)，則稱a為函數(shù)g（x）的下確界．已知x，y，z∈R⁺且以x，y，z為邊長可以構(gòu)成三角形，則f（x，y，z）=$\frac{xy+yz+zx}{{{{（{x+y+z}）}^2}}}$的下確界為（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 運(yùn)用極端法，就是三角形在趨近于無法構(gòu)成時，即：x→0，并令y=z，可得原式＞$\frac{1}{4}$恒成立，再由分析法證明，注意運(yùn)用配方和三角形的三邊關(guān)系，可得下確界為$\frac{1}{4}$．

解答 解：運(yùn)用極端法，就是三角形在趨近于無法構(gòu)成時，
即：x→0，并令y=z，
所以$\frac{xy+yz+zx}{（x+y+z）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，當(dāng)然此值只是一個極限值，
原式=$\frac{xy+yz+zx}{（x+y+z）^{2}}$＞$\frac{1}{4}$恒成立，
可運(yùn)用分析法證明上式．
即證（x+y+z）²＜4xy+4yz+4zx，
即有x²+y²+z²＜2xy+2yz+2zx，
即有（x-y）²+（y-z）²+（z-x）²＜x²+y²+z²，
由三角形中，|x-y|＜z，|y-z|＜x，|z-x|＜y，
均為（x-y）²＜z²，（y-z）²＜x²，（z-x）²＜y²．
則上式成立．
故下確界是$\frac{1}{4}$．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查三角形的三邊的關(guān)系和不等式的證明，屬于中檔題．