Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（x+1，y），$\overrightarrow$=（x-1，y），其中x，y∈R，且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|=4，動點P（x，y）的軌跡為L．
（Ⅰ）求動點P（x，y）的軌跡方程；
（Ⅱ）已知點F₁（-1，0），過點F₂（1，0）的直線l與軌跡L相交于A，B兩點，問△ABF₁的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由已知結(jié)合|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|=4，求得動點P（x，y）的軌跡方程；
（Ⅱ）把△ABF₁的內(nèi)切圓的面積最大轉(zhuǎn)化為△ABF₁的面積最大，設(shè)出直線l的方程為x=my+1，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程，由函數(shù)的單調(diào)性求得使△ABF₁的面積最大的m值，進(jìn)一步求得內(nèi)切圓面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{a}$=（x+1，y），$\overrightarrow$=（x-1，y），且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|=4，
得：$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}=4$．
整理得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）若△ABF₁的內(nèi)切圓的面積最大，即內(nèi)切圓的半徑最大，
∵△ABF₁的周長為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的長軸長的2倍為定值，
則△ABF₁的面積最大．
設(shè)直線l的方程為x=ty+1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，得：（3m²+4）y²+6my-9=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}$．
∴$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}-4×（-\frac{9}{3{m}^{2}+4}）}$
=$\sqrt{\frac{36{m}^{2}+36（3{m}^{2}+4）}{（3{m}^{2}+4）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{144（{m}^{2}+1）}{[3（{m}^{2}+1）+1]^{2}}}$=$\sqrt{\frac{144}{9（{m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+6}}$．
當(dāng)m²+1=1，即m=0時，|y₁-y₂|_max=3．
此時△ABF₁的面積最大，最大值為$\frac{1}{2}×2×3=3$．
設(shè)△ABF₁的內(nèi)切圓的半徑為r，則$\frac{1}{2}×4×2r=3$，r=$\frac{3}{4}$，
內(nèi)切圓的面積為$\frac{9}{16}π$，此時直線l的方程為x=1．

點評 本題考查由平面向量求曲線的軌跡方程，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查計算能力，是中高檔題．