10．函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），且x∈[0，2]時(shí)f（x）=2x-x2
（1）求f（2005）
（2）期當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式；
（3）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．

分析 （1）根據(jù)f（x+2）=-f（x）便可得出f（x）=f（x+4），從而說明f（x）是周期為4的周期函數(shù)，從而便可得出f（2005）=f（1）=1；
（2）可設(shè)x∈[-2，0]，從而x+2∈[0，2]，根據(jù)條件便有f（x）=-f（x+2）=-[2（x+2）-（x+2）2]，這樣便求出了x∈[-2，0]時(shí)的f（x）解析式；
（3）x∈[-2，0]時(shí)，有-x∈[0，2]，這樣根據(jù)f（x）在[-2，0]和[0，2]上的解析式即可得出f（-x）=-f（x），這便說明f（x）在一個(gè)周期[-2，2]上為奇函數(shù)，從而便可得出它在整個(gè)定義域上為奇函數(shù)．

解答 （1）解：根據(jù)條件，f（x）=-f（x+2）=-[-f（x+4）]=f（x+4）；
∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)；
∴f（2005）=f（1+501×4）=f（1）=1；
（2）解：設(shè)x∈[-2，0]，x+2∈[0，2]；
∴f（x+2）=2（x+2）-（x+2）2=-f（x）；
∴f（x）=x2+2x；
（3）證明：x∈[-2，0]時(shí)，-x∈[0，2]；
∴f（x）=x2+2x，f（-x）=-x2-2x；
∴f（-x）=-f（x）；
∴f（x）在[-2，2]上是奇函數(shù)；
即f（x）在一個(gè)周期[-2，2]上為奇函數(shù)；
∴f（x）在R上是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查周期函數(shù)的定義，函數(shù)奇偶性的定義及判斷方法和過程，知道周期函數(shù)在一個(gè)周期上為奇函數(shù)時(shí)，可得到它在整個(gè)定義域上都是奇函數(shù)．

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（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)an=log2f（n），n∈N+，Sn是數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，求S20；
（3）在（2）的條件下，若bn=an（$\frac{1}{2}$）n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3x-1}{1-x}$，g（x）=log2f（x）．
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18．已知a，b是方程9x2-82x+9=0的兩根，求$\frac{a-b}{{a}^{\frac{1}{3}}-^{\frac{1}{3}}}$-$\frac{a+b}{{a}^{\frac{1}{3}}+^{\frac{1}{3}}}$的值．

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5．已知α，β為銳角，cosα=$\frac{4}{5}$，tan（α-β）=-$\frac{1}{3}$，則cosβ=$\frac{9\sqrt{10}}{50}$；
已知α，β為銳角，cosα=$\frac{1}{7}$，cos（β+α）=-$\frac{11}{14}$，則cosβ=$\frac{1}{2}$．

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15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2\\;x＜-1或x＞2}\\{{x}^{2}-x-2\\;-1≤x≤2}\end{array}\right.$，求f（x）的值域．

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19．已知函數(shù)f（x）=mx2+3（m-2）x-1在區(qū)間（-∞，3]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）
A．m＜0B．m=$\frac{2}{3}$C．0≤m≤$\frac{2}{3}$D．m≥$\frac{2}{3}$

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20．函數(shù)f（x）=m+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（x∈R）是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值．
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義證明．

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