Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2\\;x＜-1或x＞2}\\{{x}^{2}-x-2\\;-1≤x≤2}\end{array}\right.$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 f（x）為分段函數(shù)，每一段都是二次函數(shù)，從而在每一段里，對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行配方，從而求出每一段里f（x）的范圍，然后這兩個(gè)范圍求并集便可得出f（x）的值域．

解答 解：①x＜-1，或x＞2時(shí)，f（x）=${x}^{2}+x+2=（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}$；
f（x）在（-∞，-1）單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增；
∴f（x）＞f（-1）=2，或f（x）＞f（2）=8；
∴f（x）＞2；
②-1≤x≤2時(shí)，f（x）=${x}^{2}-x-2=（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{4}$；
f（-1）=f（2）=0；
∴$-\frac{9}{4}≤f（x）≤0$；
∴f（x）的值域?yàn)椋篬-$\frac{9}{4}$，0]∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，分段函數(shù)值域的求法，配方求二次函數(shù)值域的方法，以及根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點(diǎn)情況、端點(diǎn)值的取值情況求二次函數(shù)值域的方法．