Question

7．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1²+2²+3²+…+（n-1）²+n²+（n-1）²+…+3²+2²+1²=$\frac{1}{3}$n（2n²+1）

Answer 1

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，去證明等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答 證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1=右邊，此時(shí)等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k∈N^*時(shí)，1²+2²+3²+…+（k-1）²+k²+（k-1）²+…+3²+2²+1²
=$\frac{1}{3}$k（2k²+1）（k∈N^*）成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²+k²+…+2²+1²
=$\frac{1}{3}$k（2k²+1）+（k+1）²+k²=$\frac{1}{3}$（k+1）[2（k+1）²+1]=右邊，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．
根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)n∈N^*等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．