Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=-$\frac{6}{\sqrt{1+8si{n}^{2}θ}}$．
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）若C₁上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=$\frac{π}{2}$，Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3\sqrt{3}+\sqrt{3}α}\\{y=-3-α}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程中利用sin²t+cos²t=1，消去參數(shù)t，能求出曲線C₁的普通方程；曲線C₂的極坐標(biāo)方程中利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，能求出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程．
（2）先求出P（-4，4），Q（6cosθ，2sinθ），從而求出PQ中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求出直線C₃的直角坐標(biāo)方程，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式能求出PQ中點(diǎn)M到直線C₃的距離的最小值．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴$\left\{\begin{array}{l}{cost=4+x}\\{sint=y-3}\end{array}\right.$，
∴曲線C₁的普通方程為（x+4）²+（y-3）²=1．
∵曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=-$\frac{6}{\sqrt{1+8si{n}^{2}θ}}$，
∴ρ²+8ρ²sin²θ=36，∴x²+y²+8y²=36，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）∵C₁上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=$\frac{π}{2}$，∴P（-4，4），
∵Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，∴Q（6cosθ，2sinθ），
∴PQ中點(diǎn)M（-2+3cosθ，2+sinθ），
∵直線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3\sqrt{3}+\sqrt{3}α}\\{y=-3-α}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴C₃為直線x+$\sqrt{3}y$+6$\sqrt{3}$=0，
∴點(diǎn)M到C₁的距離：
d=$\frac{|-2+3cosθ+2\sqrt{3}+\sqrt{3}sinθ+6\sqrt{3}|}{\sqrt{{1}^{2}+3}}$=|4$\sqrt{3}+\sqrt{3}sin（θ+\frac{π}{3}）-1$|，
∴當(dāng)sin（$θ+\frac{π}{3}$）=-1時(shí)，PQ中點(diǎn)M到直線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3\sqrt{3}+\sqrt{3}α}\\{y=-3-α}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）距離的最小值：
d_min=3$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查線段中點(diǎn)到直線距離的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)、極坐標(biāo)公式與直角坐標(biāo)公式互化、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．