Question

3．已知函數(shù)f（x）=axe^x-（a-1）（x+1）²（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.7181281…）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出，
（2）先求導(dǎo)，再令f'（x）=0得到x=-1或ae^x-2a+2=0（*），根據(jù)ae^x-2a+2=0（*）無(wú)解即可求出a的范圍．

解答 解：（1）由題知，f（x）=-xe^x+2（x+1）²，
f'（x）=-e^x-xe^x+4（x+1）=（x+1）（4-e^x），
由f'（x）=0得到x=-1或x=ln4，
而當(dāng)x＜ln4時(shí)，（4-e^x）＞0，x＞ln4時(shí)，（4-e^x）＜0，列表得：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，ln4）	ln4	（ln4，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極大值	↗	極小值	↘

所以，此時(shí)f（x）的減區(qū)間為（-∞，-1），（ln4，+∞），增區(qū)間為（-1，ln4）；
（2）f'（x）=ae^x+axe^x-2（a-1）（x+1）=（x+1）（ae^x-2a+2），
由f'（x）=0得到x=-1或ae^x-2a+2=0（*）
由于f（x）僅有一個(gè)極值點(diǎn)，
關(guān)于x的方程（*）必?zé)o解，
①當(dāng)a=0時(shí)，（*）無(wú)解，符合題意，
②當(dāng)a≠0時(shí)，由（*）得e^x=$\frac{2a-2}{a}$，故由 $\frac{2a-2}{a}$≤0得0＜a≤1，
由于這兩種情況都有，當(dāng)x＜-1時(shí)，f'（x）＜0，于是f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x＞-1時(shí)，f'（x）＞0，于是f（x）為增函數(shù)，
∴僅x=-1為f（x）的極值點(diǎn)，
綜上可得a的取值范圍是[0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)系和一級(jí)函數(shù)的極值的問(wèn)題，考查了分類(lèi)討論的思想，屬于中檔題．