Question

19．已知函數(shù)f（x）=|x+a|-|x+2|-2a．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求不等式f（x）≤0的解集；
（2）若不等式f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=|x-1|-|x+2|+2，利用零點(diǎn)分段法，分別求出各段上滿足f（x）≤0的x的范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案；
（2）若不等式f（x）≤0恒成立，則|x+a|-|x+2|≤2a．即|a-2|≤2a恒成立，解得答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=|x-1|-|x+2|+2，
當(dāng)x≤-2時(shí)，不等式f（x）≤0可化為：5≤0，恒不成立；
當(dāng)-2＜x＜1時(shí)，不等式f（x）≤0可化為：-2x+1≤0，解得：x≥$\frac{1}{2}$，
故$\frac{1}{2}$≤x＜1；
當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）≤0可化為：-1≤0，恒成立；
綜上可得不等式f（x）≤0的解集為：[$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）若不等式f（x）≤0恒成立，
則|x+a|-|x+2|≤2a．
即|a-2|≤2a恒成立，
即-2a≤a-2≤2a恒成立，
解得：a≥$\frac{2}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)是分段函數(shù)的應(yīng)用，恒成立問(wèn)題，分類討論思想，難度中檔．