Question

8．已知定義在R上的二次函數(shù)f（x）的圖象過(guò)原點(diǎn)，且滿足f（x+1）-f（x）=2x+2，函數(shù)g（x）=a^x（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)h（x）=-f（x）+bx，當(dāng)a=2時(shí)，若對(duì)任意x∈[1，2]，都存在x₁，x₂∈[1，2]，使得h（x）≤h（x₁），g（x）≤g（x₂），且h（x₁）=g（x₂），求實(shí)數(shù)b的值；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=g（2x）恰有一實(shí)數(shù)解x₀，且x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=mx²+nx+p（m≠0），由題意求出m，n，p值，可得f（x）的解析式；
（2）由題意得：x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)h（x）和g（x）的最大值相等，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論滿足條件的b值，可得答案；
（3）方程f（x）=g（2x）恰有一實(shí)數(shù)解x₀，則函數(shù)f（x）與函數(shù)g（2x）的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），則$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2×\frac{1}{4}}＞f（\frac{1}{4}）=\frac{5}{16}\\{a}^{2×\frac{1}{2}}＜f（\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=mx²+nx+p（m≠0），
由題意可知，f（0）=0，解得，p=0，
由f（x+1）-f（x）=2x+2可知，[m（x+1）²+n（x+1）]-（mx²+nx）=2x+2，
化簡(jiǎn)得，2mx+m+n=2x+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}2m=2\\ m+n=2\end{array}\right.$，
∴m=1，n=1．
∴f（x）=x²+x；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，g（x）=2^x在x∈[1，2]時(shí)為增函數(shù)，
若對(duì)任意x∈[1，2]，g（x）≤g（x₂），則x₂=2，h（x₁）=g（x₂）=4，
此時(shí)h（x）=-f（x）+bx=-x²+（b-1）x的圖象是開口朝下，且以直線x=$\frac{b-1}{2}$為對(duì)稱軸的拋物線，
當(dāng)$\frac{b-1}{2}≤1$，即b≤3時(shí)，h（x）在x∈[1，2]時(shí)為減函數(shù)，
若對(duì)任意x∈[1，2]，h（x）≤h（x₁），則x₁=1，h（x₁）=-1+（b-1）=4，解得：b=6（舍去）；
當(dāng)$1＜\frac{b-1}{2}＜2$，即3＜b＜5時(shí)，h（x）在x∈[1，$\frac{b-1}{2}$]時(shí)為增函數(shù)，x∈[$\frac{b-1}{2}$，2]時(shí)為減函數(shù)，
若對(duì)任意x∈[1，2]，h（x）≤h（x₁），則x₁=$\frac{b-1}{2}$，h（x₁）=$\frac{（b-1）^{2}}{4}$=4，解得：b=5（舍去），或b=-3（舍去）；
當(dāng)$\frac{b-1}{2}≥2$，即b≥5時(shí)，h（x）在x∈[1，2]時(shí)為增函數(shù)，
若對(duì)任意x∈[1，2]，h（x）≤h（x₁），則x₁=2，h（x₁）=-4+2（b-1）=4，解得：b=5；
綜上可得：b=5，
（3）若方程f（x）=g（2x）恰有一實(shí)數(shù)解x₀，
則函數(shù)f（x）與函數(shù)g（2x）的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，
進(jìn)而可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2×\frac{1}{4}}＞f（\frac{1}{4}）=\frac{5}{16}\\{a}^{2×\frac{1}{2}}＜f（\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}\end{array}\right.$
解得：a∈（$\frac{25}{256}$，$\frac{3}{4}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．