Question

19．用待定系數(shù)法解方程：a³x⁴-2a²x²-x+a-1=0．

Answer 1

分析 由a³x⁴-2a²x²-x+a-1=0．因式分解為：（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）=0，對a分類討論：當(dāng)a=0時，解出即可．當(dāng)a≠0時，可得ax²-x-1=0，a²x²+ax-a+1=0，對a及其判別式分類討論即可得出．

解答 解：由a³x⁴-2a²x²-x+a-1=0．
因式分解為：（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）=0，
當(dāng)a=0時，化為-x-1=0，解得x=-1．
當(dāng)a≠0時，可得ax²-x-1=0，a²x²+ax-a+1=0，
①對于ax²-x-1=0，△=1+4a．
當(dāng)△＜0時，即$a＜-\frac{1}{4}$時，方程無實數(shù)根；
當(dāng)△=0時，即a=-$\frac{1}{4}$時，方程有兩個相等實數(shù)根x₁=x₂=-2；
當(dāng)△＞0時，即a＞-$\frac{1}{4}$且a≠0時，方程有兩個不相等實數(shù)根：x=$\frac{1±\sqrt{1+4a}}{2a}$．
②對于a²x²+ax-a+1=0，△=a²-4a²（1-a）=a²（4a-3）．
當(dāng)△＜0時，即a$＜\frac{3}{4}$且a≠0時，方程無實數(shù)根；
當(dāng)△=0時，即a=$\frac{3}{4}$時，方程有兩個相等實數(shù)根x₁=x₂=-$\frac{2}{3}$；
當(dāng)△＞0時，即a＞$\frac{3}{4}$且a≠0時，方程有兩個不相等實數(shù)根：x=$\frac{1±\sqrt{1+4a}}{2a}$．

點評 本題考查了一元二次方程的解法、分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．