Question

7．已知點P（x，y）滿足x²-2x+y²=0．
（1）x+y+c＞0恒成立，求c的取值范圍；
（2）求$\frac{y}{x+1}$的取值范圍；
（3）求x²+y²+2x的最值．

Answer 1

分析 （1）利用圓的參數方程，即可求c的取值范圍；
（2）令$\frac{y}{x+1}$=t，則y=t（x+1），代入x²-2x+y²=0，可得（1+t²）x²-（2+2t）x+2t=0，利用判別式求$\frac{y}{x+1}$的取值范圍；
（3）x²+y²+2x=（x+1）²+y²-1，（x-1）²+y²=1上的點與（-1，0）的距離的最小值為1，最大值為3，即可求x²+y²+2x的最值．

解答 解：x²-2x+y²=0可化為（x-1）²+y²=1．
（1）令x=1+cosα，y=sinα，則x+y+c＞0化為c＞-（1+cosα+sinα）=-1-$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
-1-$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）的最大值為）=-1+$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∵x+y+c＞0恒成立，
∴c＞-1+$\sqrt{2}$；
（2）令$\frac{y}{x+1}$=t，則y=t（x+1），代入x²-2x+y²=0，可得（1+t²）x²-（2+2t）x+2t=0，
∴△=[-（2+2t）]²-8t（1+t²）≥0，
∴（t-1）（2t²+t+1）≤0，
∴t≤1，
∴$\frac{y}{x+1}$≤1；
（3）x²+y²+2x=（x+1）²+y²-1，表示（x-1）²+y²=1上的點與（-1，0）的距離的平方減去1．
（x-1）²+y²=1上的點與（-1，0）的距離的最小值為1，最大值為3，
∴x²+y²+2x的最小值是0，最大值是8．

點評 本題考查圓的參數方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．