Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+b}{{1+{x^2}}}$是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解不等式 f（x²-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義，求出b，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）f（x²-1）+f（x）＜0可化為-1＜x²-1＜-x＜1，即可解不等式 f（x²-1）+f（x）＜0．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）
∴$\frac{-x+b}{1+{x}^{2}}$=-$\frac{x+b}{{1+{x^2}}}$
∴b=0，
∴f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，△x=x₂-x₁＞0，
則△y=f（x₂）-f（x₁）=$\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}$-$\frac{{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{△x（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}_}$
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴△x=x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0
∴△y=f（x₂）-f（x₁）＞0
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）f（x²-1）+f（x）＜0可化為-1＜x²-1＜-x＜1，
解得-1＜x＜0或0＜x＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴不等式的解集為{x|-1＜x＜0或0＜x＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$}．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查解不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．