Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x）=6x-2，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）（n∈N*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

3

anan+1

，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求出Tn；并求使得T

n

＜

m

7

對(duì)所有n∈N*都成立的m的范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx．f'（x）=2ax+b，由2a=6b=-2，知f（x）=3x²-2x，由（n，S_n）在y=3x²-2x上，知S_n=3n²-2n．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(an+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，知T_n=

1

2

(1-

1

7

+

1

7

-

1

13

+

1

13

-

1

19

+…+

1

6n-5

-

1

6n+1

)=

3n

6n+1

，由Tn＜

m

7

恒成立，則m＞7Tn恒成立．由此能求出所有n∈N*都成立的m的范圍．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx．
f'（x）=2ax+b，
∴2a=6b=-2．
∴f（x）=3x²-2x
（n，S_n）在y=3x²-2x上，
則S_n=3n²-2n．
又n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1
=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）
=6n-5
又n=1時(shí)a₁=3-2=1=6×1-5符合，
∴a_n=6n-5．
（2）bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(an+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

(1-

1

7

+

1

7

-

1

13

+

1

13

-

1

19

+…+

1

6n-5

-

1

6n+1

)
=

1

2

(1-

1

6n+1

)
=

3n

6n+1

Tn＜

m

7

恒成立，則m＞7Tn恒成立．
∴m＞（7T_n）_max
T_n+1-T_n=b_n+1＞0，
∴T_n隨n增大而增大，
又Tn＜

1

2

，
∴m≥7×

1

2

=

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，綜合性強(qiáng)，難度較大．易錯(cuò)點(diǎn)是基礎(chǔ)知識(shí)不牢固，不會(huì)運(yùn)用數(shù)列知識(shí)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．