Question

20．已知3sinα-cosα=0，7sinβ+cosβ=0，且0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，則2α-β的值為（　　）

• A． $\frac{5π}{4}$
• B． -$\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． -$\frac{3}{4}$π

Answer 1

分析 由3sinα-cosα=0，求出tanα的值，再由二倍角的正切公式求出tan2α的值，由7sinβ+cosβ=0，求出tanβ的值，根據(jù)角的范圍得到2α-β∈（-π，0），再由兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡代值得答案．

解答 解：∵3sinα-cosα=0，
∴$tanα=\frac{1}{3}$．
$tan2α=\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}=\frac{2×\frac{1}{3}}{1-（\frac{1}{3}）^{2}}=\frac{3}{4}$．
∵7sinβ+cosβ=0，
∴$tanβ=-\frac{1}{7}$．
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴2α∈（0，π），2α-β∈（-π，0），
$tan（2α-β）=\frac{tan2α-tanβ}{1+tan2αtanβ}$=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1+（\frac{3}{4}）×（-\frac{1}{7}）}=1$．
則2α-β的值為：$-\frac{3π}{4}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了二倍角的正切公式的應用，考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，注意討論角的范圍，屬于中檔題．