Question

6．對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x），若存在x₀∈D，對(duì)任意的x∈D，都有f（x）≥f（x₀），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有“下界”，把f（x₀）稱為函數(shù)f（x）在D上的“下界”．
（1）分別判斷下列函數(shù)是否有“下界”？如果有，寫出“下界”，否則請(qǐng)說(shuō)明理由；f₁（x）=1-2x（x＞0），f₂（x）=x+$\frac{16}{x}$（0＜x≤5）．
（2）請(qǐng)你類比函數(shù)有“下界”的定義，寫出函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有“上界”的定義；并判斷函數(shù)f₂（x）=|x-$\frac{16}{x}$|（0＜x≤5）是否有“上界”？說(shuō)明理由；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上既有“上界”又有“下界”，則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間D上的“有界函數(shù)”，把“上界”減去“下界”的差稱為函數(shù)f（x）在D上的“幅度M”．
對(duì)于實(shí)數(shù)a，試探究函數(shù)F（x）=x|x-2a|+3（a≤$\frac{1}{2}$）是否是[1，2]上的“有界函數(shù)”？如果是，求出“幅度M”的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x₀）稱為函數(shù)f（x）在D上的“下界”的定義，判斷即可；
（2）類比函數(shù)有“下界”的定義，寫出函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有“上界”的定義；通過(guò)討論x的范圍，判斷函數(shù)f₂（x）是否有“上界”即可；
（3）求出F（x）的分段函數(shù)式，討論①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)的解析式和對(duì)稱軸，與區(qū)間的關(guān)系，由單調(diào)性即可得到最值和幅度M的值．

解答 解：（1）∵f₁（x）=1-2x（x＞0），∴f₁（x）＜1，無(wú)“下界”，
∵f₂（x）=x+$\frac{16}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{16}{x}}$=8，當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)“=”成立（0＜x≤5）．
∴f₂（x）=x+$\frac{16}{x}$（0＜x≤5）有“下界”；
（2）對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x），若存在x₀∈D，對(duì)任意的x∈D，都有f（x）≤f（x₀），
則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有“上界”，把f（x₀）稱為函數(shù)f（x）在D上的“上界”．
f₂（x）=|x-$\frac{16}{x}$|（0＜x≤5），
0＜x＜4時(shí)，x-$\frac{16}{x}$＜0，
f₂（x）=$\frac{16}{x}$-x，f₂′（x）=-$\frac{16}{{x}^{2}}$-1＜0，
f₂（x）在（0，4）遞減，
x→0時(shí)，f₂（x）→+∞，無(wú)“上界”，
4≤x≤5時(shí)，x-$\frac{16}{x}$＞0，
f₂（x）=x-$\frac{16}{x}$，f₂′（x）=1+$\frac{16}{{x}^{2}}$＞0，
f₂（x）=x-$\frac{16}{x}$在[4，5]遞增，f₂（x）≤f₂（5）=$\frac{9}{5}$，
綜上，函數(shù)f₂（x）=|x-$\frac{16}{x}$|（0＜x≤5）無(wú)“上界”；
（3）F（x）=x|x-2a|+3=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+2ax+3，x≤2a}\\{{x}^{2}-2ax+3，x＞2a}\end{array}\right.$，
①當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)（x）=x²-2ax+3對(duì)稱軸為x=a，在[1，2]遞增，
F（x）_max=F（2）=7-4a，F(xiàn)（x）_min=F（1）=4-2a，
幅度M=F（2）-F（1）=3-2a；
②當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，F(xiàn)（x）=x²-2ax+3，
區(qū)間[1，2]在對(duì)稱軸的右邊，為增區(qū)間，
F（x）_max=F（2），F(xiàn)（x）_min=F（1），
幅度M=F（2）-F（1）=3-2a．
綜上可得是[1，2]上的“有界函數(shù)”，
“幅度M”的值為3-2a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和應(yīng)用，考查二次函數(shù)的最值的求法，注意單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．