Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁．
（Ⅰ） 求證：AB₁⊥平面A₁BC₁；
（Ⅱ） 若D為B₁C₁的中點(diǎn)，求AD與平面A₁BC₁所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由題意先推導(dǎo)出A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，從而得到A₁C₁⊥AB₁，由此能夠證明AB₁⊥平面A₁BC₁．
（Ⅱ） 設(shè)AB₁與A₁B相交于點(diǎn)O，由題設(shè)條件推導(dǎo)出AD與C₁O的交點(diǎn)為重心G，連接OG，能推導(dǎo)出∠AGO是AD與平面A₁BC₁所成的角，由此能求出AD與平面A₁BC₁所成的角的大小．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知四邊形AA₁B₁B是正方形，
∴AB₁⊥BA₁．
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥A₁C₁．
又∵A₁C₁⊥A₁B₁，∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
∴A₁C₁⊥AB₁．
∴AB₁⊥平面A₁BC₁．…（7分）
（Ⅱ） 設(shè)AB₁與A₁B相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是線段AB₁的中點(diǎn)．
連接AC₁，由題意知△AB₁C₁是正三角形．
由AD，C₁O是△AB₁C₁的中線知：AD與C₁O的交點(diǎn)為重心G，連接OG．
由（Ⅰ） 知AB₁⊥平面A₁BC₁，
∴OG是AD在平面A₁BC₁上的射影，
∴∠AGO是AD與平面A₁BC₁所成的角．
在直角△AOG中，
AG=

2

3

AD=

3

3

AB₁=

6

3

AB，AO=

2

2

AB，
∴sin∠AGO=

AO

AG

=

3

2

．
∴∠AGO=60°，
即AD與平面A₁BC₁所成的角為60°．…（15分）

點(diǎn)評：本題主要考查空間線、面位置關(guān)系，線面所成的角等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力．