Question

已知向量

a

=（1，x），

b

=（x²+x，-x），
（1）已知常數m滿足-2≤m≤2，求使不等式

a

•

b

≥-

1

a • b

+m成立的x的解集；
（2）求使不等式

a

•

b

≥-

1

a • b

+m對于一切x＞0恒成立的實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,不等式的解法及應用,平面向量及應用

分析：（1）求出

a

•

b

=x，將

a

•

b

≥-

1

a • b

+m?

x2-mx+1

x

≥0，由m的范圍，推出x²-mx+1≥0恒成立，從而得到x的解集；
（2）由（1）可知原不等式等價為x+

1

x

≥m對x＞0恒成立，運用基本不等式，求出x+

1

x

的最小值2，則可得m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（1，x），

b

=（x²+x，-x），
∴

a

•

b

=x²+x-x²=x，
∴

a

•

b

≥-

1

a • b

+m?x+

1

x

≥m?

x2-mx+1

x

≥0，
∵常數m滿足-2≤m≤2，∴△=m²-4≤0，即x²-mx+1≥0恒成立，
∴

x2-mx+1

x

≥0?x＞0，
∴不等式

a

•

b

≥-

1

a • b

+m成立的x的解集為（0，+∞）；
（2）不等式

a

•

b

≥-

1

a • b

+m對于一切x＞0恒成立，
由（1）得，即x+

1

x

≥m對x＞0恒成立，
∵x+

1

x

≥2，當且僅當x=1時，取最小值2，
∴m≤2，
故所求實數m的取值范圍是（-∞，2]．

點評：本題考查平面向量的數量積的坐標運算，以及不等式的解法，基本不等式的運用，屬于中檔題．