Question

11．已知圓B：（x-1）²+（y-1）²=2，過原點(diǎn)O作兩條不同的直線l₁，l₂與圓B分別交于P，Q．
（1）過圓心B作BA⊥OP，BC⊥OQ，垂足分別為點(diǎn)A，C，求過四點(diǎn)O，A，B，C的圓E的方程，并判斷圓B與圓E的位置關(guān)系；
（2）若l₁與l₂的傾斜角互補(bǔ)，試用l₁的傾斜角α表示△OPQ的面積，并求其最大值．

Answer 1

分析 （1）求出圓心坐標(biāo)與半徑，可得圓E的方程，即可得出結(jié)論；
（2）求出直線與圓相交的弦長，可得面積，利用三角函數(shù)知識得出結(jié)論．

解答 解：（1）過四點(diǎn)O，A，B，C的圓E的方程是以O(shè)B為直徑的圓，圓E的圓心為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴圓E的方程為：（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$．
∵圓心距=$\sqrt{（1-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴圓B與圓E相內(nèi)切；
（2）設(shè)l₁的方程為y=xtanα，圓心B（1，1）到直線l₁的距離d=$\frac{|tanα-1|}{\sqrt{ta{n}^{2}α+1}}$，
直線l₁與圓相交的弦長m=$\frac{2|tanα+1|}{\sqrt{ta{n}^{2}α+1}}$，
以-tanα代替tanα，可得直線l₂與圓相交的弦長n=2$\frac{|tanα-1|}{\sqrt{ta{n}^{2}α+1}}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}mn|sin2α|$=2|$\frac{ta{n}^{2}α-1}{ta{n}^{2}α+1}$||sin2α|=|sin4α|≤1，
當(dāng)且僅當(dāng)α=$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$，$\frac{5π}{8}$，$\frac{7π}{8}$時(shí)等號成立，故最大值為1．

點(diǎn)評 本題考查直線方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．