Question

1．某小區(qū)內(nèi)有一條形狀如圖的溝渠，溝沿是兩條平行線段，溝渠寬AB為20厘米，溝渠的直截面ABO為一段拋物線，拋物線頂點為O，對稱軸與地面垂直，溝渠深20厘米，溝渠中水深10厘米．
（1）求水面寬為多少厘米；
（2）若要把這條溝渠改挖（不準填土）成直截面為等腰梯形的溝渠，是溝渠的底面與地面平行，則改挖后的溝渠底部寬為多少厘米時，所挖土最少．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，以O(shè)為坐標原點，建立直角坐標系．設(shè)拋物線方程為：y=ax²（a＞0）．把（10，20）代入解得a，把y=10代入拋物線方程可得x．
（2）為使所挖土最少，等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切，設(shè)切點為P$（t，\frac{1}{5}{t}^{2}）$（0＜t≤10）是拋物線OB上的一點，設(shè)經(jīng)過點P的切線CD的方程為：y-$\frac{1}{5}{t}^{2}$=k（x-t），與拋物線方程聯(lián)立可得：x²-5kx+5kt-t²=0，由△=0，解得k=$\frac{2}{5}$t，kd 切線方程為：$y=\frac{2}{5}tx-\frac{1}{5}{t}^{2}$，可得C$（\frac{t}{2}，0）$，D$（\frac{t}{2}+\frac{50}{t}，20）$．kd 梯形OCDE的面積S=10（t+$\frac{50}{t}$），即可得出．

解答 解：（1）如圖所示，以O(shè)為坐標原點，建立直角坐標系．
設(shè)拋物線方程為：y=ax²（a＞0）．
把（10，20）代入可得：20=a×10²，解得a=$\frac{1}{5}$，可得$y=\frac{1}{5}{x}^{2}$．
把y=10代入可得x²=50，x=$±5\sqrt{2}$，
∴水面寬為10$\sqrt{2}$厘米．
（2）為使所挖土最少，等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切，設(shè)切點為P$（t，\frac{1}{5}{t}^{2}）$（0＜t≤10）是拋物線OB上的一點，設(shè)經(jīng)過點P的切線CD的方程為：y-$\frac{1}{5}{t}^{2}$=k（x-t），與拋物線方程聯(lián)立可得：
x²-5kx+5kt-t²=0，由△=0，解得k=$\frac{2}{5}$t，
∴切線方程為：$y=\frac{2}{5}tx-\frac{1}{5}{t}^{2}$，可得C$（\frac{t}{2}，0）$，D$（\frac{t}{2}+\frac{50}{t}，20）$．梯形OCDE的面積S=10（t+$\frac{50}{t}$）≥10×$2\sqrt{t•\frac{50}{t}}$=100$\sqrt{2}$，當且僅當t=5$\sqrt{2}$時取等號．此時OC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
即溝渠底部寬為5$\sqrt{2}$厘米時，所挖土最少．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、切線方程、等腰梯形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．