Question

16．設(shè)S₁、S₂、S₃是由三個(gè)整數(shù)組成的非空集，已知對(duì)于1、2、3的任意一個(gè)排列i、j、k，如果x∈S_i，y∈S_j，則x-y∈S_k，證明：S₁、S₂、S₃中必有兩個(gè)集合相等．

Answer 1

分析 若x∈S_i，y∈S_j，則x-y∈S_k，所以（y-x）-y=-x∈S_i，所以S_i中有非負(fù)元素． 由i，j，k的任意性可知三個(gè)集合中都有非負(fù)元素．
若三個(gè)集合中有一個(gè)集合含有0，不妨設(shè)0∈S₁，則對(duì)任意x∈S₂，有x-0=x∈S₃，所以S₂包含于S₃，對(duì)于任意y∈S₃，有y-0=y∈S₂，所以S₃包含于S₂，所以S₂=S₃．
所以這道題目只需證明在某個(gè)集合中有0就可以了，下面證明某個(gè)集合中有0：
若三個(gè)集合都沒(méi)有0，則取S₁∪S₂∪S₃中最小的正整數(shù)a（由于三個(gè)集合中都有非負(fù)整數(shù)，所以這樣的a存在），不妨設(shè)a∈S₁，取S₂∪S₃中的最小正整數(shù)b，并不妨設(shè)
b∈S₂，這時(shí)b＞a（否則b不可能大于a，只能等于a，所以b-a=0∈S₃，矛盾）；但是，這樣就導(dǎo)致了0＜b-a＜b，且b-a∈S₃，這時(shí)與b為S₂∪S₃中的最小正整數(shù)矛盾．

解答 證明：若三個(gè)集合都沒(méi)有0，則取S₁∪S₂∪S₃中最小的正整數(shù)a（由于三個(gè)集合中都有非負(fù)整數(shù)，所以這樣的a存在），
不妨設(shè)a∈S₁，取S₂∪S₃中的最小正整數(shù)b，并不妨設(shè)b∈S₂，這時(shí)b＞a（否則b不可能大于a，只能等于a，所以b-a=0∈S₃，矛盾）；
但是，這樣就導(dǎo)致了0＜b-a＜b，且b-a∈S₃，這時(shí)與b為S₂∪S₃中的最小正整數(shù)矛盾．
∴三個(gè)集合中必有一個(gè)集合含有0．
∵三個(gè)集合中有一個(gè)集合含有0，不妨設(shè)0∈S₁，則對(duì)任意x∈S₂，有x-0=x∈S₃，
∴S₂包含于S₃，對(duì)于任意y∈S₃，有y-0=y∈S₂，
∴S₃包含于S₂，則S₂=S₃．
綜上所述，這三個(gè)集合中必有兩個(gè)集合相等．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道證明題，考查在已知條件下證明兩個(gè)集合相等，考查反證法思想的應(yīng)用，入手難，綜合考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬難題．