Question

3．（1）已知tanα=2，求cos⁴α-2sinαcosα-sin⁴α的值．
（2）若函數(shù)f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x，x∈[0，$\frac{π}{2}$），求f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，化簡要求的式子為 $\frac{1{-tan}^{2}α-2tanα}{{tan}^{2}α+1}$，從而求得它的值．
（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，化簡函數(shù)的解析式為f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），再利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)的最值．

解答 解：（1）已知tanα=2，故 cos⁴α-2sinαcosα-sin⁴α=（cos²α-sin²α）•（cos²α+sin²α）-2sinαcosα
=cos²α-sin²α-2sinαcosα=$\frac{{cos}^{2}α{-sin}^{2}α-2sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{1{-tan}^{2}α-2tanα}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{1-4-2}{4+1}$=-1．
（2）∵函數(shù)f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x=（cos²x-sin²x）•（cos²x+sin²x）-2sinxcosx
=cos²x-sin²x-2sinxcosx=cos2x-sin2x=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$），∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），故當2x+$\frac{π}{4}$=π時，函數(shù)f（x）取得最小值為-$\sqrt{2}$，
當2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為 $\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式的應(yīng)用，兩角差的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，化簡函數(shù)f（x）的解析式為 $\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．