Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂是圓心在極軸上且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓，已知曲線C₁上的點(diǎn)M（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ=$\frac{π}{6}$，射線θ=$\frac{π}{3}$與曲線C₂交于點(diǎn)D（1，$\frac{π}{3}$）．
（1）求曲線C₁，C₂的直角坐標(biāo)系方程；
（2）若點(diǎn)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）都在曲線C₁上，求$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）先求出a=2，b=1，由此能求出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程；把點(diǎn)D的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)代入圓C₂的方程為（x-R）²+y²=R²，求得R=1，即可得到曲線C₂的方程．
（2）把A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，代入曲線C₁極坐標(biāo)方程可得$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}co{s}^{2}θ}{4}$+${{ρ}_{1}}^{2}si{n}^{2}θ=1$，$\frac{{{ρ}_{2}}^{2}si{n}^{2}θ}{4}$+${{ρ}_{2}}^{2}co{s}^{2}θ=1$，由此能求出$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$的值．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ為參數(shù)），曲線C₁上的點(diǎn)M（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ=$\frac{π}{6}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{acos\frac{π}{6}=\sqrt{3}}\\{bsin\frac{π}{6}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)系方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
設(shè)圓C₂的半徑R，則圓C₂的方程為：ρ=2Rcosθ（或（x-R）²+y²=R²），
將點(diǎn)D（1，$\frac{π}{3}$）代入得：1=2Rcos$\frac{π}{3}$，∴R=1
∴圓C₂的方程為：ρ=2cosθ（或（x-1）²+y²=1）…（5分）
（2）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為：$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{4}$+ρ²sin²θ=1，
∵點(diǎn)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）都在曲線C₁上
將點(diǎn)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）代入得：$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}co{s}^{2}θ}{4}$+${{ρ}_{1}}^{2}si{n}^{2}θ=1$，$\frac{{{ρ}_{2}}^{2}si{n}^{2}θ}{4}$+${{ρ}_{2}}^{2}co{s}^{2}θ=1$，
∴$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=（$\frac{co{s}^{2}θ}{4}$+sin²θ）+（$\frac{si{n}^{2}θ}{4}$）+cos²θ=$\frac{5}{4}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，屬于中檔題．