Question

9．求過橢圓x²+4y²=16內一點A（1，1）的弦PO的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 設出P、Q、M的坐標，把P、Q坐標代入橢圓方程，利用點差法得到PQ所在直線斜率，由向量相等得弦PO的中點M的軌跡方程．

解答 解：設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y）．
則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}^2+4{y_1}^2=16\\{x_1}^2+4{y_1}^2=16\end{array}\right.$，
兩式作差得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
當x₁≠x₂時，有$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}=-\frac{2x}{8y}=-\frac{x}{4y}$，
又$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{y-1}{x-1}$，則$\frac{y-1}{x-1}=-\frac{x}{4y}$，
得x²+4y²-x-4y=0；
當x₁=x₂時，M（1，0）滿足上式．
綜上點M的軌跡方程是x²+4y²-x-4y=0．

點評 本題考查軌跡方程的求法，訓練了利用“點差法”求與弦中點有關的問題，是中檔題．