Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，它的前n項和為S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{

1

Sn

}的前n項和為T_n，求T_n的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出5a₁+10d=70，a72=a2a22，由此求出首項和公差，從而能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn =2n²+4n，從而得到

1

Sn

=

1

4

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{

1

Sn

}的前n項和T_n的最小值．

解答： （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且S₅=70，
∴5a₁+10d=70，
又a₂，a₇，a₂₂成等比數(shù)列，
∴a72=a2a22，∴(a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)，
解得a₁=6，d=4，或a₁=14，d=0（舍），
∴a_n=4n+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn =2n²+4n，
∴

1

Sn

=

1

2n2+4n

=

1

4

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴Tn =

1

4

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=

3

8

-

1

4

(

1

n+1

+

1

n+2

)．
∵T_n+1-T_n=

1

4

(

1

n+1

-

1

n+3

)＞0，
∴數(shù)列{T_n}是遞增數(shù)列，
∴Tn≥T1=

1

6

，
∴T_n的最小值為

1

6

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的最小值的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．