Question

14．已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 畫出圖形，求異面直線CE與BD所成角的余弦，可以想著去求向量$\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{BD}$夾角的余弦，而$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}$，設(shè)正四面體ABCD的棱長為2，可求出CE=2，從而得到$cos＜\overrightarrow{CE}，\overrightarrow{BD}＞$=$\frac{\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）•（\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}）}{2\sqrt{3}}$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出cos$＜\overrightarrow{CE}，\overrightarrow{BD}＞$，從而可得出異面直線CE與BD所成角的余弦值．

解答 解：如圖，
設(shè)正四面體的棱長為2，則CE=$\sqrt{3}$；
∴cos$＜\overrightarrow{CE}，\overrightarrow{BD}＞$=$\frac{\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{CE}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）•（\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}）}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}-{\overrightarrow{CB}}^{2}}{4\sqrt{3}}$
=$\frac{2-2+2-4}{4\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$；
∴異面直線CE與BD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 考查用向量的方法求異面直線所成角，清楚正四面體的概念，向量加法的平行四邊形法則，以及向量減法的幾何意義，向量夾角的余弦公式，向量數(shù)量積的運(yùn)算．