Question

8．若不等式kx²-2x+1-k＜0對滿足-2≤k≤2的所有k都成立，則x的取值范圍是（$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（k）=kx²-2x+1-k，把f（k）看作關(guān)于k的一次函數(shù)，
根據(jù)題意列出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＜0}\\{f（2）＜0}\end{array}\right.$，求出x的取值范圍即可．

解答 解：設(shè)f（k）=kx²-2x+1-k=k（x²-1）-2x+1，
f（k）可看作關(guān)于k的一次函數(shù)，
∵不等式kx²-2x+1-k＜0對任意k∈[-2，2]時(shí)均成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＜0}\\{f（2）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-{2x}^{2}-2x+3＜0}\\{{2x}^{2}-2x-1＜0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{-1-\sqrt{7}}{2}，或x＞\frac{-1+\sqrt{7}}{2}}\\{\frac{1-\sqrt{3}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
即$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
∴x的取值范圍為（$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）．
故答案為：（$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了不等式組的解法與應(yīng)用問題，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化問題以及推理應(yīng)用與計(jì)算能力，是綜合性題目．