Question

18．“開門大吉”是某電視臺(tái)推出的游戲節(jié)目．選手面對(duì)1～8號(hào)8扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會(huì)播放一段音樂（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確回答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對(duì)應(yīng)的家庭夢想基金．在一次場外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參賽選手多數(shù)分為兩個(gè)年齡段：20～30；30～40（單位：歲），其猜對(duì)歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示．
（1）寫出2×2列聯(lián)表；判斷是否有90%的把握認(rèn)為猜對(duì)歌曲名稱是否與年齡有關(guān)；說明你的理由；（下面的臨界值表供參考）

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

（2）現(xiàn)計(jì)劃在這次場外調(diào)查中按年齡段用分層抽樣的方法選取6名選手，并抽取3名幸運(yùn)選手，
求3名幸運(yùn)選手中至少有一人在20～30歲之間的概率．
（參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的二維條形圖得到列聯(lián)表，利用公式求出k²=3＞2.706，即可得出結(jié)論；
（2）按照分層抽樣方法可知：20～30（歲）抽取：6×$\frac{40}{120}$=2（人）；30～40（歲）抽取：6×$\frac{80}{120}$=4（人），在上述抽取的6名選手中，年齡在20～30（歲）有2人，年齡在30～40（歲）有4人，利用列舉法求出基本事件數(shù)，即可求出至少有一人年齡在20～30歲之間的概率．

解答 解：（1）根據(jù)所給的二維條形圖得到列聯(lián)表，

	正確	錯(cuò)誤	合計(jì)
20～30（歲）	10	30	40
30～40（歲）	10	70	80
合計(jì)	20	100	120

…（3分）
根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)代入觀測值的公式得到k²=$\frac{120×（10×70-10×30）^{2}}{20×100×40×80}$=3
∵3＞2.706…（5分）
∴有1-0.10=90%的把握認(rèn)為猜對(duì)歌曲名稱與否與年齡有關(guān)．…（6分）
（2）按照分層抽樣方法可知：20～30（歲）抽�。�6×$\frac{40}{120}$=2（人）；
30～40（歲）抽�。�6×$\frac{80}{120}$=4（人） …（7分）
在上述抽取的6名選手中，年齡在20～30（歲）有2人，年齡在30～40（歲）有4人．…（8分）
年齡在20～30（歲）記為（A，B）；
年齡在30～40（歲）記為（a，b，c，d），
則從6名選手中任取3名的所有情況為：
（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、
（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、
（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、
（B，c，d）、（a，b，c）、（a，b，d）、（a，c，d）、（b，c，d），共20種情況，…（9分）
其中至少有一人年齡在20～30歲情況有：
（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、
（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、
（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d），共16種情況．…（10分）
記至少有一人年齡在20～30歲為事件A，則P（A）=$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$ …（11分）
∴至少有一人年齡在20～30歲之間的概率為$\frac{4}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用，考查分層抽樣，考查概率知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定基本事件總數(shù)是關(guān)鍵．