Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤0在區(qū)間[1，e]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤0在區(qū)間[1，e]上恒成立，則只需求出f（x）的最大值即可，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
∴f′(x)=

2x2-2(a+1)x+2a

x

=

2(x-1)(x-a)

x

(x＞0)，
由f'（x）=0得x₁=a，x₂=1，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在x∈（0，a）或x∈（1，+∞）時(shí)f'（x）＞0，
在x∈（a，1）時(shí)f'（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，a）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（a，1）；
當(dāng)a=1時(shí)，在x∈（0，+∞）時(shí)f'（x）≥0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，在x∈（0，1）或x∈（a，+∞）時(shí)f'（x）＞0，
在x∈（1，a）時(shí)f'（x）＜0．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1）和（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（1，a）．
（2）由（1）可知f（x）在區(qū)間[1，e]上只可能有極小值點(diǎn)，
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)處取到，
即有f（1）=1-2（a+1）≤0且f（e）=e²-2（a+1）e+2a≤0，
解得a≥

e2-2e

2e-2

．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥

e2-2e

2e-2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．