已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）-log2（a2-3a）＞2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題
專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）通過對自變量x的范圍的討論，去掉絕對值符號(hào)，從而可求得不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）不等式f（x）-log2(a2-3a)＞2恒成立?log2(a2-3a)+2＜f（x）min恒成立，利用絕對值不等式的性質(zhì)易求f（x）min=4，從而解不等式log2(a2-3a)＜2即可．
解答： 解：（Ⅰ）原不等式等價(jià)于
x＞
3
2
(2x+1)+(2x-3)≤6
或
-
1
2
≤x≤
3
2
(2x+1)-(2x-3)≤6
或
x＜-
1
2
-(2x+1)-(2x-3)≤6
，
解得：
3
2
＜x≤2或-
1
2
≤x≤
3
2
或-1≤x＜-
1
2
，
∴不等式f（x）≤6的解集為{x|-1≤x≤2}．  
（Ⅱ）不等式f（x）-log2(a2-3a)＞2恒成立?log2(a2-3a)+2＜f（x）=|2x+1|+|2x-3|恒成立?log2(a2-3a)+2＜f（x）min恒成立，
∵|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，
∴f（x）的最小值為4，
∴log2(a2-3a)+2＜4，
即
a2-3a＞0
a2-3a-4＜0
，
解得：-1＜a＜0或3＜a＜4．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，0）∪（3，4）．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與解不等式組的能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，cos（A+
π
4
）=
3
5
，則cos2A=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一個(gè)五位自然
.
a1a2a3a4a5
，ai∈{0，1，2，3，4，5}，i=1，2，3，4，5，當(dāng)且僅當(dāng)a1＞a2＞a3，a3＜a4＜a5時(shí)稱為“凹數(shù)”（如32014，53134等），則滿足條件的五位自然數(shù)中“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為（　　）
A、110B、137
C、145D、146

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
|log2(x+1)|，-1＜x＜0
-x2+4x，x≥0
，且關(guān)于x的方程f（x）-m=0，（m∈R）恰有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是（　　）
A、（-4，0）
B、(-
15
4
，0)
C、[-
15
4
，0)
D、[-4，0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且對任意x＞0，都有f′（x）＞
f(x)
x
．
（Ⅰ）判斷函數(shù)F（x）=
f(x)
x
在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)x1，x2∈（0，+∞），證明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的結(jié)論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

為了解學(xué)生的體能情況，抽取了一個(gè)學(xué)校的部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理成統(tǒng)計(jì)圖如圖，已知圖中從左到右各個(gè)小組的高度之比分別為1：3：4：2，最左邊一組的頻數(shù)為5，請根據(jù)以上信息和圖形解決以下問題：
（1）參加這次測試的學(xué)生共有多少人？
（2）求第四小組的頻率；
（3）若次數(shù)在75次以上（含75次）為達(dá)標(biāo)，那么，學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？
（4）在這次測試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在那個(gè)小組內(nèi)？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)無窮數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），且點(diǎn)（Sn-1，Sn）（n∈N*，n≥2）在直線（2t+3）x-3ty+3t=0上（t為與n無關(guān)的正實(shí)數(shù)）．
（1）求證：數(shù)列{an}（n∈N*）為等比數(shù)列；
（2）記數(shù)列{an}的公比為f（t），數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn=f（
1
bn-1
）（n∈N*，n≥2），
設(shè)cn=b2n-1b2n-b2nb2n+1，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn；
（3）（理）若（1）中無窮等比數(shù)列{an}（n∈N*）的各項(xiàng)和存在，記S（t）=a1+a2+…+an+…，求函數(shù)S（t）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f1(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)的一段圖象過點(diǎn)（0，1），如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f1（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f1（x）的圖象按向量
a
=(
π
4
，0)平移，得到函數(shù)y=f2（x），求y=f1（x）+f2（x）的最大值，并求此時(shí)自變量x的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤0在區(qū)間[1，e]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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