Question

16．已知命題p：sinα-cosα=$\sqrt{2}$，命題q：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{co{s}^{2}α}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}α}$=1的漸近線與圓x²+（y-1）²=$\frac{1}{2}$相切，則命題p為命題q為（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{co{s}^{2}α}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}α}$=1的漸近線為y=±$\frac{sinα}{cosα}$x，
即sinαx±cosαy=0，
圓x²+（y-1）²=$\frac{1}{2}$的圓心為（0，1），半徑R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則圓心到直線的距離d=$\frac{|±cosα|}{\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}}$=|cosα|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則cosα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則sinα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則sinα-cosα=$\sqrt{2}$不一定成立，
當(dāng)sinα-cosα=$\sqrt{2}$時(shí)，得$\sqrt{2}$sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
即sin（α-$\frac{π}{4}$）=1，則α-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，
即α=$\frac{3π}{4}$+2kπ，則cosα=cos（$\frac{3π}{4}$+2kπ）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故命題p為命題q的充分不必要條件，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．