Question

8．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F(xiàn)是CD的中點．
（1）求證：平面CBE⊥平面CDE；
（2）求二面角C-BE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取CE的中點M，連接BM、FM，通過證明BM⊥平面CDE，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面 BCE⊥平面 CDE．
（2）過F作FN⊥CE交CE于N，過N作NH⊥BE，連接HF，則∠NHF就是二面角C-BE-F的平面角．

解答 （1）證明：因為DE⊥平面ACD，DE?平面CDE，
所以平面CDE⊥平面ACD．
在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性質(zhì)定理知，AF⊥平面CDE．
取CE的中點M，連接BM、FM，
由已知可得FM=AB且FM∥AB，則四邊形FMBA為平行四邊形，從而BM∥AF．
所以BM⊥平面CDE．
又BM?平面BCE，則平面CBE⊥平面CDE．…（7分）
（2）解：過F作FN⊥CE交CE于N，過N作NH⊥BE，連接HF，
則∠NHF就是二面角C-BE-F的平面角．
在Rt△FNH中，NH=$\frac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$，F(xiàn)H=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
所以cos∠NHF=$\frac{NH}{FH}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$
故二面角C-BE-F的余弦值為$\frac{3\sqrt{6}}{8}$…（15分）

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查二面角的余弦值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．