Question

3．設(shè)a是實(shí)數(shù)，f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（x∈R），
（1）若f（x）是奇函數(shù)，求a及f（x）的值域
（2）若不等式f（x）+a＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，求出a的值，從而求出f（x）的值域即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即a=1，
∴f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$∈（-1，1）；
（2）由題意x∈R時(shí)，2a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜0恒成立，
即x∈R時(shí)，a＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$恒成立，
∵2^x+1＞1，
∴0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，
故：a≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎(chǔ)題．