Question

8．某商場舉行抽獎促銷活動，在該商場消費的顧客按如下規(guī)則參加抽獎活動：

消費金額X（元）	[500，1000）	[1000，1500）	[1500，+∞）
抽獎次數(shù)	1	2	4

抽獎中有9個大小形狀完全相同的小球，其中4個紅球、3個白球、2個黑球（每次只能抽取一個，且不放回抽取），若抽得紅球，獲獎金10元；若抽得白球，獲獎金20元；若抽得黑球，獲獎金40元，
（1）若某顧客在該商場當(dāng)日消費金額為2000元，求該顧客獲得獎金70元的概率；
（2）若某顧客在該商場當(dāng)日消費金額為1200元，獲獎金ξ元．求ξ的分布列和E（ξ）的值．

Answer 1

分析 （1）X=2000時，顧客共有4次抽獎機(jī)會，顧客獲得獎金70元，由兩種可能，抽中3紅球，1黑球；抽中1紅球，3白球，由概率公式即可求得P=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{2}{21}$；
（2）X=1200時，共有2次抽獎機(jī)會，ξ的取值為20，30，40，50，60，80，分別求得其概率，求得分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）的值．

解答 解：（1）某顧客在該商場當(dāng)日消費金額為2000元時，
該顧客共有4次抽獎機(jī)會，
顧客獲得獎金70元，由兩種可能，抽中3紅球，1黑球；抽中1紅球，3白球；
∴改顧客獲得70元獎金的概率為P=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{2}{21}$；
（2）X=1200時，共有2次抽獎機(jī)會，
ξ的取值為20，30，40，50，60，80，
∴P（ξ=20）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，P（ξ=30）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=40）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{12}$，P（ξ=50）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=60）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，P（ξ=80）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{36}$，
∴ξ的分布列

ξ	20	30	40	50	60	80
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{36}$

E（ξ）=20×$\frac{1}{6}$+30×$\frac{1}{3}$+40×$\frac{1}{12}$+50×$\frac{2}{9}$+60×$\frac{1}{6}$+80×$\frac{1}{36}$=40，
∴數(shù)學(xué)E（ξ）的值40．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，解題時要注意排列組合知識的合理運用，是中檔題．