Question

10．已知x＞1，則函數(shù)$y=\frac{{{x^2}+x+1}}{x-1}$的最小值為$3+2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，得到x-1為整體的關(guān)系式，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解最值即可．

解答 解：x＞1，則函數(shù)$y=\frac{{{x^2}+x+1}}{x-1}$=x-1+$\frac{3}{x-1}$+3≥3+2$\sqrt{（x-1）（\frac{3}{x-1}）}$=3+2$\sqrt{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)x=1+$\sqrt{3}$時(shí)，函數(shù)取得最小值．
最小值為$3+2\sqrt{3}$．
故答案為：3+2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，基本不等式在最值中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．