Question

18．根據(jù)下列條件，求圓的方程：
（1）經(jīng)過(guò)P（-2，4），Q（3，-1）兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6；
（2）圓心在直線y=-4x上，且與直線l：x+y-1=0相切于點(diǎn)P（3，-2）．

Answer 1

分析 （1）求出線段PQ的垂直平分線為y=x+1，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（a，a+1），求出半徑r的表達(dá)式，利用圓心C到x軸的距離為d=|a+1|，由題意得3²+d²=r²，解得a，求出圓的方程即可；
（2）設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），由圓心在直線y=-4x上，并且與直線l：x+y-1=0相切于點(diǎn)P（3，-2），可以構(gòu)造a，b，r的方程組，解方程組可得a，b，r的值，進(jìn)而得到圓的方程．

解答 解：（1）因?yàn)榫�段PQ的垂直平分線為y=x+1，
所以設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（a，a+1），
半徑r=|PC|=$\sqrt{（a+2）^{2}+（a-3）^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-2a+13}$，圓心C到x軸的距離為d=|a+1|，
由題意得3²+d²=r²，即3²+（a+1）²=2a²-2a+13，
整理得a²-4a+3=0，解得a=1或a=3．
當(dāng)a=1時(shí)，圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=13； 
當(dāng)a=3時(shí)，圓的方程為（x-3）²+（y-4）²=25．
綜上得，所求的圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=13或（x-3）²+（y-4）²=25；
（2）解：設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）
由題意有：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4a}\\{\frac{|a+b-1|}{\sqrt{2}}=r}\\{\frac{b+2}{a-3}•（-1）=-1}\end{array}\right.$
解之得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{r=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
∴所求圓的方程為（x-1）²+（y+4）²=8．

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，考查圓的方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系，注意圓心到弦的距離與半徑，弦長(zhǎng)的關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．