Question

11．2016年微信宣布：微信朋友圈除夕前后10天的所有廣告收入，均將變?yōu)槊赓M(fèi)紅包派送至全國(guó)網(wǎng)民的口袋，金額至少達(dá)到9位數(shù)．某商業(yè)調(diào)查公司對(duì)此進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，其中男性500人，女性400人，為了了解性別對(duì)“搶紅包”的喜愛(ài)程度的影響，采用分層抽樣方法從中抽取了45人的測(cè)評(píng)結(jié)果，并作出頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表如下：
表1：男性     

等級(jí)	喜歡	一般	不喜歡
頻數(shù)	15	x	5

表2：女性

等級(jí)	喜歡	一般	不喜歡
頻數(shù)	15	3	y

（Ⅰ）由表中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下邊2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“喜歡搶紅包與性別有關(guān)”；

	男性	女性	總計(jì)
喜歡
非喜歡
總計(jì)

參考數(shù)據(jù)與公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.01
k0	2.706	3.841	6.635

臨界值表：
（Ⅱ）若從樣本中的女性中隨機(jī)抽取3人，求恰有2人非喜歡的概率；
（Ⅲ）若以樣本的頻率估計(jì)概率，從參加調(diào)查問(wèn)卷的人中隨機(jī)抽取2名男性和1名女性，求其中非喜歡的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先由分層抽樣求出x=5，y=2，得到2×2列聯(lián)表，求出K²=1.125＜2.706，從而得到?jīng)]有90%的把握認(rèn)為“喜歡搶紅包與性別有關(guān)”．
（Ⅱ）樣本中有20名女性，其中15人喜歡，5人非喜歡，樣本中的女性中隨機(jī)抽取3人，先求出基本事件總數(shù)，再求出恰有2人非喜歡包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出恰有2人非喜歡的概率．
（Ⅲ）以樣本的頻率估計(jì)概率，參加調(diào)查問(wèn)卷的男性喜歡搶紅包的概率為$\frac{3}{5}$，女性喜歡搶紅包的概率為$\frac{3}{4}$，由題意知X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出非喜歡的人數(shù)X的分布列和期望．

解答 解：（Ⅰ）∵男性500人，女性400人，為了了解性別對(duì)“搶紅包”的喜愛(ài)程度的影響，采用分層抽樣方法從中抽取了45人的測(cè)評(píng)結(jié)果，
∴抽取男性人數(shù)為：500×$\frac{45}{400+500}$=25，抽取的女性人數(shù)為：400×$\frac{45}{400+500}$=20，
∴x=25-15-5=5，y=20-15-3=2，
由表中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到2×2列聯(lián)表：

	男性	女性	總計(jì)
喜歡	15	15	30
非喜歡	10	5	15
總計(jì)	25	20	45

∵1-0.9=0.1，P（K²≥2.706）=0.10，
K²=$\frac{45（15×5-15×10）^{2}}{30×15×25×20}$=1.125＜2.706，
∴沒(méi)有90%的把握認(rèn)為“喜歡搶紅包與性別有關(guān)”．
（Ⅱ）∵樣本中有20名女性，其中15人喜歡，5人非喜歡，
∴樣本中的女性中隨機(jī)抽取3人，基本事件總數(shù)n=${C}_{20}^{3}$=1140，
恰有2人非喜歡包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{15}^{1}{C}_{5}^{2}$=150，
∴恰有2人非喜歡的概率P=$\frac{m}{n}$=$\frac{150}{1140}$=$\frac{5}{38}$．
（Ⅲ）以樣本的頻率估計(jì)概率，參加調(diào)查問(wèn)卷的男性喜歡搶紅包的概率為$\frac{3}{5}$，女性喜歡搶紅包的概率為$\frac{3}{4}$，
由題意知X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=${C}_{2}^{0}$（$\frac{3}{5}$）²（$\frac{3}{4}$）=$\frac{27}{100}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）（\frac{3}{4}）$+${C}_{2}^{0}（\frac{3}{5}）^{2}（\frac{1}{4}）$=$\frac{45}{100}$，
P（X=2）=${C}_{2}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{4}）$+${C}_{2}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）（\frac{1}{4}）$=$\frac{24}{100}$，
P（X=3）=${C}_{2}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{1}{4}）$=$\frac{4}{100}$，
∴非喜歡的人數(shù)X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{100}$	$\frac{45}{100}$	$\frac{24}{100}$	$\frac{4}{100}$

EX=$0×\frac{27}{100}$+1×$\frac{45}{100}$+2×$\frac{24}{100}$+3×$\frac{4}{100}$=$\frac{21}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查列聯(lián)表的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．