Question

1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3≤0}\\{x+y-4≤0}\\{x≥1}\\{\;}\end{array}\right.$，則$\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{91}{218}$
• C． $\frac{3}{10}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 $\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$，從而轉(zhuǎn)化為求$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的最小值，而$\frac{y}{x}$可看成斜率，從而轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃求解即可．

解答 解：由題意作出其平面區(qū)域如下，

由題意可得，A （$\frac{13}{5}$，$\frac{7}{5}$），B（1，3），
則$\frac{7}{13}$≤$\frac{y}{x}$≤3，則2≤$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$≤$\frac{10}{3}$，
故$\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$的最大值為$\frac{1}{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用及線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于中檔題．