Question

4．已知函數(shù)f（x）=e^x（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，且e=2.71828…），g（x）=$\frac{n}{2}$x+m（m，n∈R）．
（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1-$\frac{n}{2}$，求T（x）在[0，1]上的最大值φ（n）的表達式；
（Ⅱ）若n=4時方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有兩個相異實根，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若m=-$\frac{15}{2}$，n∈N^*，求使f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方的最大正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）T（x）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1-$\frac{n}{2}$），求導(dǎo)T′（x）=e^x（x+1）；從而確定函數(shù)的最大值；
（2）n=4時，方程f（x）=g（x）可化為m=e^x-2x；求導(dǎo)m′=e^x-2，從而得到函數(shù)的單調(diào)性及取值，從而求m的取值范圍；
（3）由題意，p（x）=f（x）-g（x）=e^x-$\frac{n}{2}$x+$\frac{15}{2}$，故f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方可化為p（x）＞0恒成立；從而化為最值問題．

解答 解：（Ⅰ）m=1-$\frac{n}{2}$ 時，T（x）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1-$\frac{n}{2}$），n∈R，
∴T′（x）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1），
①當(dāng)n=0時，T′（x）=e^x＞0，T（x）在[0，1]上為增函數(shù)，則此時φ（n）=T（1）=e；
②當(dāng)n＞0時，T′（x）=e^x$\frac{n}{2}$（x+$\frac{2}{n}$）在（-$\frac{2}{n}$，+∞）上為增函數(shù)，
故T（x） 在[0，1]上為增函數(shù)，此時φ（n）=T（1）=e；                
③當(dāng)n＜0時，T′（x）=e^x$\frac{n}{2}$（x+$\frac{2}{n}$），
T（x）在（-∞，-$\frac{2}{n}$） 上為增函數(shù)，在 （-$\frac{2}{n}$，+∞）上為減函數(shù)，
若0＜-$\frac{2}{n}$＜1，即n＜-2時，故T（x）在[0，-$\frac{2}{n}$]上為增函數(shù)，在[-$\frac{2}{n}$，1]上為減函數(shù)，
此時φ（n）=T（-$\frac{2}{n}$）=${e}^{-\frac{2}{n}}$（-1+m）=-$\frac{n}{2}$•${e}^{-\frac{2}{n}}$，
若-$\frac{2}{n}$≥1-2≤n＜0時，T（x）在[0，1]上為增函數(shù)，則此時φ（n）=T（1）=e；
∴綜上所述：φ（n）=$\left\{\begin{array}{l}{e，n≥-2}\\{-\frac{n}{2}{e}^{-\frac{2}{n}}，n＜-2}\end{array}\right.$；             
（Ⅱ） 設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=e^x-2x-m，
∴F′（x）=e^x-2，
∴F（x）在（0，ln2）上單調(diào)遞減；在（ln2，+∞） 上單調(diào)遞增；      
∴F（x）=e^x-2x-m在[0，2]上恰有兩個相異實根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{F（0）=1-m≥0}\\{F（ln2）=2-2ln2-m＜0}\\{F（2）={e}^{2}-4-m≥0}\end{array}\right.$，
解得2-2ln2＜m≤1，
∴實數(shù)m的取值范圍是{m|2-2ln2＜m≤1}；
（Ⅲ）由題設(shè)：?x∈R，p（x）=f（x）-g（x）=e^x-$\frac{n}{2}$x+$\frac{15}{2}$＞0，（*），
∵p′（x）=e^x-$\frac{n}{2}$，
∴p（x）在（-∞，ln$\frac{n}{2}$）上單調(diào)遞減；在（ln$\frac{n}{2}$，+∞） 上單調(diào)遞增，
∴（*）?p（x）_min=p（ln$\frac{n}{2}$）=$\frac{n}{2}$-$\frac{n}{2}$ln$\frac{n}{2}$+$\frac{15}{2}$=$\frac{1}{2}$（n-nln$\frac{n}{2}$+15）＞0，
設(shè)h（x）=x-xln$\frac{x}{2}$+15=x-x（lnx-ln2）+15，則 h′（x）=1-ln$\frac{x}{2}$-1=-ln$\frac{x}{2}$，
∴h（x）在（0，2）上單調(diào)遞增；在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
而h（2e²）=15-2e²＞0，
且h（15）=15（lne²-ln$\frac{15}{2}$）＜0，
故存在x₀∈（2e²，15）使 h（x₀）=0，
且x∈[2，x₀）時h（x）＞0，x∈（x₀，+∞）時，h（x）＜0，
又∵h（1）=16-ln$\frac{1}{2}$＞0.7＜e²＜$\frac{15}{2}$，
∴n∈N^*時使 f（x）的圖象恒在g（x） 圖象的上方的最大正整數(shù)n=14．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、單調(diào)性及恒成立問題，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，綜合性強，難度大，能力要求高．